（2005•崇明县模拟）如图所示，同一竖直平面内固定着绝缘细杆AB、CD，长均为L．两杆间竖直距离为h，B、D两端与光滑绝缘的半圆形细杆相连，半圆形细杆与AB、CD在同一竖直平面内，且AB、C

Question

（2005•崇明县模拟）如图所示，同一竖直平面内固定着绝缘细杆AB、CD，长均为L．两杆间竖直距离为h，B、D两端与光滑绝缘的半圆形细杆相连，半圆形细杆与AB、CD在同一竖直平面内，且AB、CD恰为半圆弧在B、D两点处的切线．O为AD、BC连线的交点，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，质量为m的带负电的小球P，电荷量为q，穿在细杆上，从A端以一定的初速度出发，沿杆滑动最后可到达C点．已知小球与两水平杆间的动摩擦因数为μ，小球所受库仑力始终小于重力．试求：
（1）小球P在水平细杆上滑动时所受摩擦力的最大值和最小值；
（2）从A端出发时初速度的最小值．

Answer 1

（1）小球在O点正下方时摩擦力最小，f_min=μN_min=μ（mg-(4kQq)/(h2)），
小球在O点正上方时摩擦力最大，f_max=μN_max=μ（mg+(4kQq)/(h2)）．
（2）利用对称性及微元法：在AB和CD杆上运动△s位移时，摩擦力做的功为：△W=μ（mg-F_y）△s+μ（mg+F_y）△s=2μmg△s，
所以从A到C过程中摩擦力做的功为W=△W₁+△W₂+…=2μmgl，整个过程中库伦力做功为零，
若到达C点速度刚好为零，初速度最小，根据动能定理得：
(1)/(2)mv₀²=mgh+2μmgl，
解得：v₀=√(2gh+4μgl)．
答：（1）小球P在水平细杆上滑动时所受摩擦力的最大值为μ（mg+(4kQq)/(h2)），最小值为μ（mg-(4kQq)/(h2)）；
（2）从A端出发时初速度的最小值为√(2gh+4μgl)．