在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）个元素构成集合Am．若Am的所有元素之和为偶数，则称Am为A的偶子集，其个数记为f（m）；若Am的所有元素之和为奇数，则称Am为A的奇子

Question

在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N^*）个元素构成集合A_m．若A_m的所有元素之和为偶数，则称A_m为A的偶子集，其个数记为f（m）；若A_m的所有元素之和为奇数，则称A_m为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）=f（m）-g（m）．
（1）当n=2时，求F（1），F（2），F（3）的值；
（2）求F（m）．

Answer 1

（1）当n=2时，集合为{1，2，3，4}，
当m=1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f（1）=2，g（1）=2，F（1）=0；
当m=2时，偶子集有{2，4}，{1，3}，奇子集有{1，2}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，
f（2）=2，g（2）=4，F（2）=-2；        
当m=3时，偶子集有{1，2，3}，{1，3，4}，奇子集有{1，2，4}，{2，3，4}，
f（3）=2，g（3）=2，F（3）=0；　　   
（2）当m为奇数时，偶子集的个数f（m）=C_n⁰C_n^m+C_n²C_n^m-2+C_n⁴C_n^m-4+…+C_n^m-1C_n¹，
奇子集的个数g（m）=C_n¹C_n^m-1+C_n³C_n^m-3+…+C_n^mC_n⁰，
所以f（m）=g（m），F（m）=f（m）-g（m）=0．　   
当m为偶数时，偶子集的个数f（m）=C_n⁰C_n^m+C_n²C_n^m-2+C_n⁴C_n^m-4+…+C_n^mC_n⁰，
奇子集的个数g（m）=C_n¹C_n^m-1+C_n³C_n^m-3+…+C_n^m-1C_n¹，
所以F（m）=f（m）-g（m）=C_n⁰C_n^m-C_n¹C_n^m-1+C_n²C_n^m-2-C_n³C_n^m-3+…-C_n^m-1C_n¹+C_n^mC_n⁰，
一方面，（1+x）^m（1-x）^m=（C_m⁰+C_m¹x+C_m²x²+…+C_m^mx^m）[C_m⁰-C_m¹x+C_m²x²+…+（-1）^mC_m^mx^m]
所以，（1+x）^m（1-x）^m中x^m的系数为C_m⁰C_m^m-C_m¹C_m^m-1+C_m²C_m^m-2-C_m³C_m^m-3+…-C_m^m-1C_m¹+C_m^mC_m⁰，
另一方面，（1+x）^m（1-x）^m=（1-x²）^m，（1-x²）^m中x^m的系数为（-1） (m)/(2)

C

(m)/(2) m

，
故f（m）=（-1） (m)/(2)

C

(m)/(2) m

，
综上，F（m）=

(-1)(m)/(2)

C

(m)/(2) m

，m为偶数

0，m为奇数