如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，过点A作AE∥BC交圆O直径BD的延长线于点E．（1）求AE与圆O的位置关系，并加以证明；（2）连接AD，若sin∠BAC=35，BC=6，求AD的长．

Question

如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，过点A作AE∥BC交圆O直径BD的延长线于点E．
（1）求AE与圆O的位置关系，并加以证明；
（2）连接AD，若sin∠BAC=(3)/(5)，BC=6，求AD的长．

Answer 1

（1）AE与圆O的位置关系式相切，
证明：作射线AO交BC于F，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴AF⊥AE，
∵AF过O，
∴AE是⊙O的切线；

（2）作直径CM，连接BM，
则∠M=∠BAC，
∵sin∠BAC=(3)/(5)，BC=6，
∴(6)/(CM)=(3)/(5)，
∴CM=10，
即BD=10，OC=5，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴CF=BF=3，
由勾股定理得：OF=4，则AF=4+5=9，由勾股定理得：AC=√(92+32)＝3√(10)，
∵∠ACB=∠ADB，
∴cos∠ADB=cos∠ACE，
∴(AD)/(10)=(3)/(3√(10))，
∴AD=√(10)．