求两个不定积分（1）∫x^3*e^(-2x)dx（2）∫e^(2x)*sin3xdx

Question

求两个不定积分
（1）∫x^3*e^(-2x)dx
（2）∫e^(2x)*sin3xdx

Answer 1

（1）∫x^3*e^(-2x)dx
=-1/2∫x^3de^(-2x)
=-1/2[x^3e^(-2x)-∫e^(-2x)dx^3]
=-1/2[x^3e^(-2x)-∫2x^2*e^(-2x)dx]
=∫x^2*e^(-2x)dx-x^3e^(-2x)/2=A-B
前者A=∫x^2*e^(-2x)dx
=-1/2∫x^2de^(-2x)
=-1/2[x^2e^(-2x)-∫e^(-2x)dx^2]
=-1/2[x^2e^(-2x)-∫2xe^(-2x)dx]
=∫xe^(-2x)dx-x^2e^(-2x)/2=E-D
E=∫xe^(-2x)dx
=-1/2∫xde^(-2x)
=-1/2[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-1/2[xe^(-2x)+1/2∫e^(-2x)d(-2x)]
=-1/2xe^(-2x)-1/4e^(-2x)+C
原式=E-D-B=-1/2xe^(-2x)-1/4e^(-2x)-1/2x^2e^(-2x)-1/2x^3e^(-2x)+C
=-e^(-2x)[x+x^2+x^3+1/2]/2 + C

(2)∫e^(-2x)·sin3xdx
=-1/2·e^(-2x)·sin3x+3/2·∫e^(-2x)·cos3xdx
=-1/2·e^(-2x)·sin3x+3/2·[-1/2·e^(-2x)·cos3x-3/2·∫e^(-2x)·sin3xdx]
得∫e^(-2x)·sin3dx=-1/13·e^(-2x)·[2sin3x+3cos3x]+C