已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．（Ⅰ）求B0的大小；（Ⅱ）当B=3B04时，求cosA-cosC的值．

Question

已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B₀．
（Ⅰ）求B₀的大小；
（Ⅱ）当B=(3B0)/(4)时，求cosA-cosC的值．

Answer 1

（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b=a+c，即b=(a+c)/(2)．
由余弦定理知，cosB=(a2+c2−b2)/(2ac)=(a2+c2−((a+c)/(2))2)/(2ac)=(3(a2+c2)−2ac)/(2ac)≥(6ac−2ac)/(8ac)=(1)/(2)．（4分）
因为y=cosx在（0，π）上单调递减，所以B的最大值为B₀=(π)/(3)．（6分）
（Ⅱ）设cosA-cosC=x，①（8分）
由（Ⅰ）及题设知sinA+sinC=√(2)．②
由①²+②²得，2-2cos（A+C）=x²+2．（10分）
又因为A+C=π-B=(3π)/(4)，
所以x=±

4

2

，即cosA-cosC=±

4

2

．（14分）