sin(1/x)在[-1,1]上定积分是否存在?请给出合理解释,先在这里拜谢.最好是能够给出函数震荡间断点处求积分的不同情况.震荡间断点出有时存在原函数,有时没有原函数但是可求广义积分,有时不

Question

sin(1/x)在[-1,1]上定积分是否存在?
请给出合理解释,先在这里拜谢.
最好是能够给出函数震荡间断点处求积分的不同情况.
震荡间断点出有时存在原函数,有时没有原函数但是可求广义积分,有时不能积分,请详细分析一下不能积分的情况..
葵花七度.不过你说的这些我全都知道.
我不是不会算.我也不讨论能约去的情况.
我只是要知道震荡间断点的积分性质,最好是几何意义.
另:带震荡间断点时多数无法积出原函数表达式!不过没关系,原函数本来就经常没有表达式的,现在只讨论能不能积分.
加多分,这个问题我比较困扰.
兄弟,你的方法不行..会化出cost/t的积分,这个积分是著名的超越函数..
不过谢谢你给我有益的启示.
还请你确认一下我的想法对不对:
∫(0,1)sin(1/x)dx = ∫(1,+∞)[sint/t^2]dt (x=1/t)
sint/t^2是以y=±1/t^2为包络线的衰减震荡曲线.
每隔π的距离就有一个零点.把每两个零点之间的部分 与t轴所围面积作为一个整体.所有面积的和就是那个广义积分了.
这些面积值组成一列交错级数.绝对值递减,最后趋与0.所以这列交错级数和收敛.
所以原积分是存在的.

Answer 1

由于sin(1/x)在[-1,1]上有间断点0,故该函数在区间[-1,1]上是不连续的,所以求它的定积分时,应该先将它划分在两个区间中分别计算,如区间[-1,0],[0,1],并将0用字母A表示,在最后的计算中再令A趋向于0即可,那时你再看能计算出来不?计算不出来那就是不存在.
对于函数震荡间断点处求积分,我们应该这样来计算,首先观察它有没有间断点,如果有的话,看分式能不能相约分,有的是可以将间断点约去的,如果不能约分的话,那就将区间划分为几个部分来风别计算,最后再令间断点趋于所给的值.
你可以将1/x换成t,然后用分部积分法计算,这是可以解决的.