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根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20
题目详情
根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如表:
(1)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.
①求图4中a的值;
②求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
(2)将频率视为概率,对于2016年的某3天,记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X,求X的分布列和数学期望.

组别 | PM2.5浓度 (微克/立方米) | 频数(天) | 频率 |
第一组 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二组 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三组 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四组 | (75,100] | 2 | 0.1 |
①求图4中a的值;
②求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
(2)将频率视为概率,对于2016年的某3天,记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X,求X的分布列和数学期望.

▼优质解答
答案和解析
(1)①a=0.004.②2016年该居民区PM2.5的年平均浓度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5(微克/立方米),∵42.5>35,∴2016年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民取的环境需要改进.
(2)由题意可得:PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9,X的可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=
(0.1)3-k(0.9)k,可得P(X=0)=0.001,P(X=1)=0.027,P(X=2)=0.243,
P(X=3)=0.729.
X的分布列为:
E(X)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7,或E(X)=3×0.9=2.7.
(2)由题意可得:PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9,X的可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=
∁ | k 3 |
P(X=3)=0.729.
X的分布列为:
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | 0.001 | 0.027 | 0.243 | 0.729 |
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