将函数y=ln（1-x-2x2）展成x的幂级数，并指出其收敛区间．

Question

将函数y=ln（1-x-2x²）展成x的幂级数，并指出其收敛区间．

Answer 1

因为：
ln（1+x）=x-(x2)/(2)+(x3)/(3)-…+(-1)n+1(xn)/(n)+…，收敛域为（-1，1]，
ln（1-2x）=（-2x）-((-2x)2)/(2)+((-2x)3)/(3)-…+(-1)n+1((-2x)n)/(n)+…，其收敛域为[-(1)/(2)，(1)/(2))，
而：y=ln（1-x-2x²）=ln（1+x）（1-2x）=ln（1+x）+ln（1-2x），
所以：
y=ln（1-x-2x²）=

∞

n=1

[(-1)n+1(xn)/(n)+(-1)n+1((-2x)n)/(n)]=

∞

n=1

((-1)n+1-2n)/(n)xn，
收敛域为：(-1，1]∩[-(1)/(2)，(1)/(2))=[-(1)/(2)，(1)/(2))，收敛区间为(-(1)/(2)，(1)/(2))．