是否存在实数k,使得方程8x^2-8kx+2k+1=0的两个根分别为直角三角形两个锐角的正弦值

Question

是否存在实数k,使得方程8x^2-8kx+2k+1=0的两个根分别为直角三角形两个锐角的正弦值

Answer 1

有两个根
64k^2-32(2k+1)>=0
2k^2-2k-1>=0
a+b=90度
sina=sin(90-b)=cosb和sinb
所以(sina)^2+(sinb)^2=(cosb)^2+(sinb)^2=1
sina+sinb=8k/8=k
sina*sinb=(2k+1)/8
(sina)^2+(sinb)^2=(sina+sinb)^2-2sinasinb=k^2-(2k+1)/4=1
4k^2-2k-1=4
4k^2-2k-5=0
k=(1±√21)/4都符合2k^2-2k-1>=0
所以k=(1+√21)/4或k=(1-√21)/4