数学二项式定理若(x的平方+ax+1)的6次方的展开式中X平方的系数为66,a 大于零,求a 的值.

Question

数学二项式定理
若(x的平方+ax+1)的6次方的展开式中X平方的系数为66,a 大于零,求a 的值.

Answer 1

答案是a=2.
设展开以后有u个括号提供x^2,有v个括号提供x,有w个括号提供1.则
u+v+w=6,
2u+v=2.
非负整数解只有两个,即
(u,v,w)=(1,0,5)或(0,2,4).
所以
66={6 choose 1,0,5}a^0+{6 choose 0,2,4}a^2.(1)
其中{n choose b,c,d}=n!/b!/c!/d!是把n个东西分成三份分别b,c,d个东西的分法数.
解方程(1),因为a>0,得到唯一解a=2.