求教数学牛人恒等式的两边是否可以同时求导而且维持等式恒等?为什么?

Question

求教数学牛人
恒等式的两边是否可以同时求导而且维持等式恒等?为什么?

Answer 1

只要可导就行.证明说不上,我说说我的理解吧.所谓等式,两边就是完全相等的,如f(x) = g(x) ,则肯定可以通过化简或恒等变换f(x),使f(x)的解析式的样子完全和g(x)一样,如x^2=x^2,这样对两样完一样的式子求导当然相等.你会有疑问应该是因为对
如f(y)=g(x)样的式子不理解,要注意的是,两边都是对x求导（或都对Y求导）,这个过程实际上就已把y看成了x函数,即有y=h（x),等式即为
f(h(x)=g(x),等式两边就是完全一样的含有x的式子了,对f(y）求导实际上就是对复合函数 f(h(x)求导,当然相等了,例如,1/y=x^2,(右边是x平方）,
根据复合函数求导法则,两边对x求导就是
(-1/y^2)*y'=2x,(1)
可得y'=-2xy^2 (2)
由1/y=x^2得y=1/(x^2),代入（2）得y'=-2/x^3,
实际上直接由1/y=x^2得y=1/(x^2)
求导即可得y'=-2/x^3,同样的结果
为了理解前面的讲解,把y看作x的函数,即y=1/(x^2),你把上面过程中的y看成
1/(x^2),就会发现对等式1/y=x^2两边求导就是对等式x^2=x^2两边求导,肯定相等了,实际很多如f(y)=g(x)的式子求不出一个像y=1/(x^2)这么明确的式子,但是还是可以确定y是x的函数(想一下函数定义),所以这样解释是合理的.
总之,理解这个问题的关键就是要意识到y是x的函数!