设 e1 ,e2 是两个不共线的向量,AB ＝2 e1 ＋k e2 ,CB ＝ e1 ＋3 e2 ,CD ＝2 e1 − e2 ,若A、BD三点共线,求k的值．∵BD ＝CD −CB ＝2e1 −e2 −(e1 ＋3e2 )＝e1 −4e2 若A,B,D三点共线,则AB 与BD 共线

Question

设 e1 ,e2 是两个不共线的向量,AB ＝2 e1 ＋k e2 ,CB ＝ e1 ＋3 e2 ,CD ＝2 e1 − e2 ,若A、BD三点共线,求k的值．
∵BD ＝CD −CB ＝2e1 −e2 −(e1 ＋3e2 )＝e1 −4e2
若A,B,D三点共线,则AB 与BD 共线,
∴设AB ＝λBD 即2e1 ＋ke2 ＝λe1 −4λe2
由于e1 与e2 不共线可得：
2e1 ＝λe1
ke2 ＝−4λe2
故λ=2,k=-8
为什么说“由于e1 与e2 不共线”就可得：2e1 ＝λe1 ke2 ＝−4λe2 ”

Answer 1

由2e1 +ke2 = λe1 −4λe2
得到(2- λ)e1 = (-k-4 λ)e2
如果e1,e2不共线,
要想上式成立,e1,e2前面系数必须都是0才行,否则一个向量不可能乘以一个系数就变成与其不共线的向量