如图甲所示，一半径为2t、电阻为r的带有极窄缝隙的金属圆环和一电阻为R的定值电阻构成一闭合电路，有一板间距离为d的平行板电容器和电阻并联，金属圆环内存在一半径为l的有界匀强磁

Question

如图甲所示，一半径为2t、电阻为r的带有极窄缝隙的金属圆环和一电阻为R的定值电阻构成一闭合电路，有一板间距离为d的平行板电容器和电阻并联，金属圆环内存在一半径为l的有界匀强磁场，该磁场区域与金属圆环共心，磁感应强度随时间的变化图象如图乙所示，设磁感应强度方向垂直纸面向正．t=0时刻在接近A板的位置处无初速释放一不计重力的带负电粒子，粒子质量为m，电荷电为-q，求：
（1）0-(T)/(3)时间内A、B两板间的电压；
（2）粒子在0-T时间内发生的位移（假设电荷没有到达B板）；
（3）要使粒子到达B板时速度最大，两板间的间距应满足的条件．

Answer 1

（1）在0～(T)/(3)时间内，有：E₁=(△Φ1)/(△t1)=(△B1)/(△t1)•S=πl2(△B1)/(△t1)
又(△B1)/(△t1)=(2B0)/((T)/(3))=(6B0)/(T)
联立得，E₁=(6πl2B0)/(T)
因为I1=(E1)/(R+r)，又因为U₁=I₁R
可得：U₁=(6πl2B0R)/(T(R+r))
（2）在(T)/(3)～T时间内，有E₂=(△Φ2)/(△t2)=πl2(△B2)/(△t2)
又知(△B2)/(△t2)=(2B0)/((2T)/(3))=(3B0)/(T)
联立得E₂=(3πl2B0)/(T)=(E1)/(2)
由楞次定律知两个过程中产生的电动势方向相反，所以
I2=(1)/(2)I1
U₂=(1)/(2)U1=(3πl2B0R)/(T(r+R))
因为F_电=ma=(qU)/(d)
则有0～(1)/(3)T时间内，a₁=(qU)/(nd)，
(T)/(3)～T时间内，a₂=(qU2)/(md)
得：a₂=(a1)/(2)
由v=a₁(T)/(3)=a₂t₂；
即t₂=(2)/(3)T，则在t=T时刻速度为零
r₁=(1)/(2)a₁（(T)/(3)）²；
r₂=(1)/(2)a₂（(2T)/(3)）²；
r=r₁+r₂；
得x=(πl2B0RqT)/(md(R+r))
（3）若粒子一直做匀加速直线运动到达B板时，速度最大d₀=(1)/(2)a1((T)/(3))2
d₀=l√((πqB0RT)/(3m(R+r)))
所以d≤l√((πqB0RT)/(3m(R+r)))；
答：（1）0-(T)/(3)时间内A、B两板间的电压U₁=(6πl2B0R)/(T(R+r))；
（2）粒子在0-T时间内发生的位移x=(πl2B0RqT)/(md(R+r))；
（3）要使粒子到达B板时速度最大，两板间的间距应满足的条件d≤l√((πqB0RT)/(3m(R+r)))．