极坐标中,表达式p=2a*cosx,用积分求该曲线所围成图形的面积.计算时积分的上下限怎么确定?（不想化成直角坐标系用圆的面积做）这种题极坐标的上下限都不会求…麻烦讲解一下…

Question

极坐标中,表达式p=2a*cosx,用积分求该曲线所围成图形的面积.计算时积分的上下限怎么确定?（不想化成直角坐标系用圆的面积做） 这种题极坐标的上下限都不会求…麻烦讲解一下…

Answer 1

其实化为直角坐标方程是最好找出θ的范围的
不过经过画图后依然能确定θ的范围,为- π/2→π/2
极坐标下的图形面积公式A = ∫(a→b) (1/2)r^2 dθ
所求面积 = ∫(- π/2→π/2) (1/2)ρ^2 dθ,被积函数为偶函数
= 2∫(0→π/2) (1/2)(2acosθ)^2 dθ
= 4a^2∫(0→π/2) (cosθ)^2 dθ
= 4a^2∫(0→π/2) (1 + cos2θ)/2 dθ
= 2a^2[θ + (1/2)sin2θ] |(0→π/2)
= 2a^2(π/2)
= πa^2