已知对任何的x,整系数多项式ax^3+bx^2+cx+d都能被5整除.求证所有系数a,b,c,d都能被5整除.若a|b,a|c,则a|(b+c).那么,可以直接返回来运用么?

Question

已知对任何的x,整系数多项式ax^3+bx^2+cx+d都能被5整除.求证所有系数a,b,c,d都能被5整除.
若a|b,a|c,则a|(b+c).
那么,可以直接返回来运用么?

Answer 1

这个定理不能反过来用.
这个题目的关键在于任何x的“任何”两字.
取x为0,则可证d可被5整除
取x为1,则a+b+c可被5整除；
取x为-1,则-a+b-c可被5整除；
以上两式相加得2b 可被5整除,又因为b是整数,所以b可被5整除.
取x为2,则8a+2c可被5整除（已忽略b 和d ,前面已经证明,下同）
又因为a+c可被5整除,2a+2c可被5整除
则6a可被5整除,又因为a是整数,所以a可被5整除.
因为8a+8c可被5整除,8a+2c可被5整除,所以6c可被5整除,又因为c是整数,所以c可被5整除.