已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0),当x=1/2时最大值为25,又ax^2+bx+c=0的根的立方和为19,求这个二次函数

Question

已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0),当x=1/2时最大值为25,又ax^2+bx+c=0的根的立方和为19,求这个二次函数

Answer 1

答案是y=-4x^2+4x+24
先将这个式子整理一下为：
y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a
根据题设我们可知,当x=-b/2a=1/2时,取最大值,此时a必为负值,此最大值为c-b^2/4a=25,此时可得出a,b,c之间的关系,即b=-a,c=25+a/4；
再根据下一个条件,我们知道跟的加和乘的关系,即：x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a,
因为x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2-x1*x2+x2^2)=(x1+x2)[(x1+x2)^2-3x1*x2]=19
可推出：-b/a(b^2/a^2-3c/a)=19,再将a、b、c之间的关系代入就可求出a=-4,进而得到b=-a=4,c=24.