6.设任意实数 ,要使不等式 恒成立,则 的最大值__________求K的最大值

Question

6.设任意实数 ,要使不等式 恒成立,则 的最大值__________

求K的最大值

Answer 1

用底e,进行换底
ln2001/ln(x0/x1)+ln2001/ln(x1/x2)+ln2001/ln(x2/x3)>=kln2001/ln(x0/x3)
消去ln2001>0,利用ln(a/b)=lna-lnb
得到
1/[ln(x0)-ln(x1)]+1/[ln(x1)-ln(x2)]+1/[ln(x2)-ln(x3)]>=k/[ln(x0)-ln(x3)]
利用调和平均不等式 (a+b+c)/3>=3/(1/a+1/b+1/c)
1/[ln(x0)-ln(x1)]+1/[ln(x1)-ln(x2)]+1/[ln(x2)-ln(x3)]
>=9[[ln(x0)-ln(x1)]+[ln(x1)-ln(x2)]+[ln(x2)-ln(x3)]]
>=9*[ln(x0)-ln(x3)]
等号成立时
[ln(x0)-ln(x1)]=[ln(x1)-ln(x2)]=[ln(x2)-ln(x3)]
即x0/x1=x1/x2=x2/x3
k最大值=9