n为100以内的自然数,那么能令2的n次-1被7整除的n有多少个?

Question

n为100以内的自然数,那么能令2的n次-1被7整除的n有多少个?

Answer 1

证明：当N = 3K 【K为自然数】时,2^N-1必能被7整除.
当N = 3K 时,
2^N-1
= 2^3K - 1
= 8^K -1
= (7+1)^K - 1
按二次项展开式得
= 1*7^K + P1*7^(K-1)+ P2*7^(K-2) + …… + PK*7 + 1] - 1
每项均含因数7,必能被7整除.
同理N = 3K+1、N = 3K+2时,一样写成关于(7 ± X)^K*2^M - 1的形式,并证得不能被7整除.
因此,
n为100以内的自然数,那么能令2的n次-1被7整除的n
从0、3、6……到99,共有34个.