求下列个图中阴影部分的面积

Question

求下列个图中阴影部分的面积

Answer 1

1,半圆减三角形的面积即为阴影面积.半圆直径为三角形斜边.有勾股定理得 斜边等于√6²+8²=10,○半径为5

半圆面积=π*5²÷2=12.5π.三角形面积 等于10*4.8÷2=24

阴影面积=12.5π-24=15.27（平方单位）

2,图形等价变换,为一个圆心角为20度的扇形.则面积=20*π*r²÷360,而弧AB为60度扇形的弧=60*π*2*r÷360=6.28.则r=6.所以面积=20*π*6²÷360=2π=6.28（平方单位）

3,下图：阴影面积=（半圆面积-空白） +（30度扇形面积-空白）=半圆面积+30度扇形面积-2倍空白面积.    （1）

空白面积=绿+青+小弓形=绿+60度扇形面积.（2）

30度扇形面积半径为30,相当于半径15 的30度扇形面积的4倍（面积之比等于长度之比的平方）

所以30度扇形面积半径为30的面积相当于4个半径15 的30度扇形面积

即为120度半径15的扇形面积（以下半径15省略简称120度扇形面积）（3）

因为绿和青俩三角形的底相等都是15 而高也相等.所以面积相等.所以绿的面积为大直角三角形面积的一半. （4）

将（2）带入（1）

阴影面积

=半圆面积+30度扇形面积-2倍空白面积

=半圆面积+30度扇形面积-2（绿+60度扇形面积）

=半圆面积+30度扇形面积-2绿-120度扇形面积 （5）

将（3）（4）带入（5）

阴影面积

=半圆面积+120度扇形面积-大直角三角形面积-120度扇形面积 

=半圆面积-大直角三角形面积（6）

因为绿和青俩三角形的底相等都是15 而高也相等.所以面积相等.所以绿的面积为大直角三角形面积的一半. 二大直角三角形的面积为俩直角边乘积的一半,一直角边为斜边一半（30度角所对的边等于斜边一半）另一边有勾股定理得√30²-15²=15√3.所以直角三角形面积为15*15√3÷2=112.5√3=194.86   （7）

半圆面积=180*π*15²÷360=112.5π=353.43  （8）

将（7）（8）的数值带入（6）

阴影面积

=112.5π-112.5√3

=112.5（π-√3）

=158.57（平方单位）

4,见下图

阴影面积=白+蓝                      （1）

白=小半圆-绿三角                   （2）

蓝=大半圆-红三角                   （3）

绿三角+红三角=大三角形        （4）

（2）+（3）

白+蓝

=小半圆-绿三角  +大半圆-红三角   

=小半圆  +大半圆-（绿三角+红三角)

由 （1）（4）得 

阴影面积

=小半圆  +大半圆-大三角形   （5）

小半圆面积=π*3²÷2=4.5π     （6）

大半圆面积=π*4²÷2=8π        （7）

大三角形   =6*8÷2=24           （8）

将（6）（7）（8）的数值带入（5）

阴影面积

=4.5π+8π-24

=12.5π-24

=15.27（平方单位）