计算XOY面上的圆周X^2+Y^2=aX围成的闭区域为底,以曲面Z=X^2+Y^2为顶的曲顶柱体的体积

Question

计算XOY面上的圆周X^2+Y^2=aX围成的闭区域为底,以曲面Z=X^2+Y^2为顶的曲顶柱体的体积

Answer 1

XOY面上的圆周X^2+Y^2=aX围成的闭区域是一个圆,如果不加附件条件的话,加上Z坐标,空间图形就是一个圆柱.
现在加上一个条件Z=X^2+Y^2,则我们可得Z=aX,则空间图形在X0Z平面上是一条直线.
综上可知,这个空间图像的俯视图为一个直径为a的圆,而正视图为一个直角低为a,直角高为a^2的直角三角形.明显这个曲顶柱体为一个底面积为(πa^2)/4,高为a^2的圆柱体的一半（被斜切剩下一半）.
所以体积为：(1/2)*底面积*高=(1/2)*[(πa^2)/4]*a^2=πa^4)/8