如图所示，在海滨游乐场里有一种滑沙运动．某人坐在滑板上从斜坡上的A点由静止开始下滑，经过时间t滑到斜坡上的B点，并与一减速弹簧相接触，滑板继续下滑距离x到达C点时速度减为零

Question

如图所示，在海滨游乐场里有一种滑沙运动．某人坐在滑板上从斜坡上的A点由静止开始下滑，经过时间t滑到斜坡上的B点，并与一减速弹簧相接触，滑板继续下滑距离x到达C点时速度减为零．已知斜坡的倾角为θ，重力加速度为g，滑板与人的总质量为m，滑板与沙的动摩擦因数为μ，不计弹簧的质量．求：
（1）定性说明滑板从接触弹簧到速度变为零的过程中加速度和速度的变化情况；
（2）由A到B过程中滑板克服摩擦力所做的功；
（3）由B到C过程中，人和滑板总共损失的机械能以及弹簧的最大弹性势能各为多大？

Answer 1

（1）滑板从接触弹簧到速度变为零的过程中，弹簧的弹力不断增大，弹力和滑动摩擦力之和先小于重力沿斜面向下的分力，后大于重力沿斜面向下的分力，合力先减小后反向增大，所以加速度先减小后增大，速度先增大后减小；
（2）对人与滑板由A到B，由牛顿第二定律得：
  mgsinθ-F_f=ma
又 x₁=(1)/(2)at²
 F_f=μmgcosθ
克服摩擦力做的功为 W_f=F_fx₁
联立以上各式解得：W_f=(1)/(2)μmg²t²cosθ（sinθ-μcosθ）=(1)/(4)μmg²t²（sin2θ-2μcos²θ）
（3）运动到B点时的速度为v_B=at
由B到C损失的机械能△E=(1)/(2)mv_B²+mgxsinθ
解得：△E=(1)/(2)mg²t²（sinθ-μcosθ）²+mgxsinθ
在由A到C的整个过程中，由功能关系可知，弹簧获得的最大弹性势能等于人和滑板整个过程中损失的机械能与克服摩擦力做功之差，
即 E_p=mg（x₁+x）sinθ-μmg（x₁+x）cosθ
将x₁代入后得：E_p=(1)/(2)mg²t²（sinθ-μcosθ）²+mgx（sinθ-μcosθ）
答：（1）加速度先减小后增大，速度先增大后减小；
（2）由A到B过程中滑板克服摩擦力所做的功为(1)/(4)μmg²t²（sin2θ-2μcos²θ）；
（3）由B到C过程中，人和滑板总共损失的机械能为(1)/(2)mg²t²（sinθ-μcosθ）²+mgxsinθ，弹簧的最大弹性势能为(1)/(2)mg²t²（sinθ-μcosθ）²+mgx（sinθ-μcosθ）．