曲面面积公式如何推导出来的?曲面面积公式 里面的cosr 是怎么弄出来的?怎么会跟偏倒数有关系

Question

曲面面积公式如何推导出来的?
曲面面积公式 里面的cosr 是怎么弄出来的?怎么会跟偏倒数有关系

Answer 1

曲面r(x,y)=(x,y,f(x,y)）以(x,y)为参数,其两个自然切向量分别为
rx = (1, 0, fx)
ry = (0, 1, fy)
其中rx表示r对x的偏导,其余符号类似.
因为向量n=( -fx, -fy, 1) 和rx, ry都垂直,所以 n 是曲面在p=r(x,y)处的法向量,也就是过p点的切平面P的法向量.
令k=(0, 0, 1)是z轴单位正方向,也就是xy平面的法向量,这样P和xy平面的夹角就等于n和k的夹角,其余弦等于/|n||k| = 1 / \sqrt(fx^2+fy^2+1)
其中 \sqrt 表示开方.