椭圆x²／9﹢y²=1,直线与椭圆交于A,B,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ ABC面积最大值.

Question

椭圆x²／9﹢y²=1,直线与椭圆交于A,B,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ ABC面积最大值.

Answer 1

可知椭圆右顶点为 C:(3,0)
设A(x1,y1);B(x2,y2) ,直线AC :x = my+3(m∈R+) （不设 y =k(x-3)!此时,直线斜率为1/m)代入椭圆方程
(my+3)^2+9y^2-9=0; (9+m^2)y^2+6my=0
可知 y1 = -6m/(9+m^2)
直线 BC,x= -1/mx+3 代入
同理 y2 = -6*(-1/m)/[(-1/m)^2+9] = 6m/(1+9m^2)
于是,K = △ ABC面积 = AC*AB/2 = (|y1|*√(1+m^2))*(|y2|*√(1+1/m^2))/2
= 18m(1+m^2)/(9m^4+82m^2+9)
这里技巧性很强,分子分母同时除以 m^2
K = 18(m+1/m)/[(9m^2+9/m^2+82)]= 18(m+1/m)/[9(m+1/m)^2+64]
令 s = m+1/m ∈[2,+∞)
K= 18s/(9s^2+64) = 36/(9s+64/s) ≤ 18/[2*√ (9s*64/s)]=18/(2*3*8) = 3/8
当且仅当 (m+1/m)=8/3 时候 成立
有什么不懂得可以问我