设椭圆中心在原点上,焦点在x轴上,离心率为 2分之根号3,已知A（0,2分之3）到这个椭圆的点的最远距离好似根号7,求这个椭圆的方程.

Question

设椭圆中心在原点上,焦点在x轴上,离心率为 2分之根号3,已知A（0,2分之3）到这个椭圆的点的最远距离好似根号7,求这个椭圆的方程.

Answer 1

设椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),椭圆上任一点P(x,y),则-b≤y≤b
由e=√3/2变形得c/a=√3/2,c²/a²=3/4,(a²-b²)/a²=3/4,a=2b
|PA|²=x²+(y-3/2)²
由x²/a²+y²/b²=1变形得x²=a²-(a²/b²)y²,代入上式得
|PA|²= a²-(a²/b²)y²+(y-3/2)²= -3(y+1/2)²+a²+3
当-b≤-1/2,即b≥1/2时,因为y≥-b,上式在y= -1/2时取得最大值a²+3,所以a²+3=(√7)²,结合a=2b解得a=2,b=1.
当-b>-1/2,即b-1/2,上式在y= -b时取得最大值-3(b+1/2)²+a²+3,所以-3(b+1/2)²+a²+3=(√7)²,结合a=2b解得b=√7-(3/2),与b