已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0),F1、F2分别是它的左、右焦点,如果在椭圆上存在一点M(x0,y0),使得∠F1MF2=π/3,求离心率e的取值范围

Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0),F1、F2分别是它的左、右焦点,如果在椭圆上存在一点M(x0,y0),使得∠F1MF2=π/3,求离心率e的取值范围

Answer 1

离心率e的取值范围是[1/2,1)

设椭圆x²/a²+y²/b²＝1(a>b>0)在短轴上的顶点为B(0,b)
因为,当点M是y轴上的2个顶点时,夹角最大
所以,∠F1MF2的最大值＝∠F1BF2
因为,在椭圆上存在一点M(x0,y0),使得∠F1MF2＝π/3
所以,∠F1BF2≥π/3
则,∠F1OF2≥π/6
因为,tan∠F1OF2＝c/b
所以,c/b≥tan(π/6)
解得,b≤√3c
即,b²≤3c²
即,a²－c²≤3c²
即,a²≤4c²
解得,e²＝c²/a²≥1/4
所以,e≥1/2
又,0