椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB中点,直线OM的斜率为根号3/2

Question

椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB中点,直线OM的斜率为根号3/2

Answer 1

∵直线OM的斜率为根号2/2
∴直线OM为y=（根号2/2）×x
联立y=（根号2/2）×x和x+y=1得x=2-根号2,y=根号2-1
∴M(2-根号2,根号2-1)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=2(2-根号2) （3）
y1+y2=2(根号2-1) （4）
ax1²+by1²=1 （1）
ax2²+by2²=1 （2）
（1）-（2）并把（3）（4）代入得
（y1-y2)/(x1-x2)=-根号2a/b=-1
∴b=根号2a
∴b/a=根号2
(2)∵OA⊥OB
∴y1/x1×y2/x2=-1
联立ax²+by²=1和x+y=1得
（a+b)x²-2bx+b-1=0
∴x1+x2=b/(a+b), x1x2=(b-1)/(a+b),
∴1-b/(a+b)+2(b-1)/(a+b)=0
又∵b/a=根号2
∴a=(4倍根号2-2）/7,b=(8-2倍根号2）/7
∴椭圆的方程为(4倍根号2-2）/7x²+(8-2倍根号2）/7y²=1