设两个向量组有相同的秩,且其中一个可被另外一个线性表出,证明这两个向量组等价

Question

设两个向量组有相同的秩,且其中一个可被另外一个线性表出,证明这两个向量组等价

Answer 1

可以用利用线性无关的定义来证.
这里有一种较取巧的证法：
设向量组A与向量组B有相同的秩为r,A可由B线性表出,则A 有极大线性无关组（a1,a2,...,ar) B
有极大线性无关组(b1,b2,...,br)
将之放到一起组成向量组C（a1,a2,...,ar,b1,b2,...,br) ,则由于b1,b2,.,br 可线性表出a1,a2,...,ar 中的任意一个,所以由极大线性无关组的定义,b1,b2,...,br是C中的极大线性无关组,于是C的秩为r,但同时a1,a2,...,ar也是线性无关的,因此也是C的极大线性无关组,这样 a1,a2,...,ar 就与b1,b2,...,br等价,因此A与B就等价（因为向量组都与自身的极大线性无关组等价）