已知函数f（x）=|logax|．（1）当a=2时，求函数f（x）-3的零点；（2）若存在互不相等的正实数m，n，使f（m）=f（n），判断函数g（x）=mx+nx-1的奇偶性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下

Question

已知函数f（x）=|log_ax|．
（1）当a=2时，求函数f（x）-3的零点；
（2）若存在互不相等的正实数m，n，使f（m）=f（n），判断函数g（x）=m^x+n^x-1的奇偶性，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若m＞n，当x＞m时，求函数y=log_mxlog_nx+log_mx的值域．

Answer 1

（1）当a=2时，
令f（x）-3=0得log₂x=3或log₂x=-3；
所以x=8或x＝(1)/(8)
所以函数f（x）-3的零点为8或(1)/(8)
（2）因为f（m）=f（n）
所以log_am=log_an或log_am=-log_an
所以m=n（舍去）或m＝(1)/(n)
因为g（x）=m^x+（m^-1）^x-1=m^x+m^-x-1且定义域为R
所以g（-x）=m^-x+m^x-1=g（x）
所以g（x）为偶函数
（3）由（2）得m＝(1)/(n)

y＝logmxlogm−1x+logmx

＝−logm2x+logmx

＝−(logmx−(1)/(2))2+(1)/(4)

因为x＞m＞n，所以m＞1
所以log_mx＞1
所以y_max＜0
所以g（x）的值域为（-∞，0）