已知关于x的函数y=(1-t)x-t2x（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b-a的最大值=．

Question

已知关于x的函数y=((1-t)x-t2)/(x)（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b-a的最大值= ___ ．

Answer 1

关于x的函数y=((1-t)x-t2)/(x)=（1-t）-(t2)/(x) 的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且函数在（-∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．
故有a=f（a），且b=f（b），即((1-t)a+t2)/(a)=a，((1-t)b+t2)/(b)=b．
即 a²+（t-1）a+t²=0，且 b²+（t-1）b+t²=0，
故a、b是方程x²+（t-1）x+t²=0的两个同号的实数根．
由判别式大于0，容易求得t∈（-1，(1)/(3)）．
而当t=0时，函数为y=1，不满足条件，故t∈（-1，(1)/(3)）且t≠0．
由韦达定理可得b-a=√((t-1)2-4t2)=√(-3t2-2t+1)，故当t=-(1)/(3)时，b-a取得最大值为 (2√(3))/(3)，
故答案为：(2√(3))/(3)．