A(B-E)=0 r(A)+r(B-E)≤n 这一步是怎么得出来的呀?是不是有什么定理之类的?

Question

A(B-E)=0 r(A)+r(B-E)≤n 这一步是怎么得出来的呀?是不是有什么定理之类的?

Answer 1

有一个公式是这样的
若AB=0,则r(A)+r(B)≤n
这个证法貌似不止一种,我觉得简单的就是利用方程组的思想
把B列分块,B=(α1,α2.αs)
B的列向量是AX=0的解向量,即Aα1=0,Aα2=0.Aαs=0
设方程组AX=0的解向量组为C,可知r(C)>=r(B)
且r(C)=n-r(A)
所以r(C)=n-r(A)>=r(B)
所以r(A)+r(B)≤n
证明后该定理可直接使用
忘了其中A是m*n矩阵