已知函数f(x)=cos²x-sin²x+sin2x1.求f(x)的最大值和最小正周期2.设α,β∈[0,π/2],f(α/2+π/8)=√5/2,f(β/2+π)=√2,求sin(α+β)的值

Question

已知函数f(x)=cos²x-sin²x+sin2x
1.求f(x)的最大值和最小正周期
2.设α,β∈[0,π/2],f(α/2+π/8)=√5/2,f(β/2+π)=√2,求sin(α+β)的值

Answer 1

1、
由倍角公式：cos²x-sin²x=cos2x
则：f(x)=cos2x+sin2x=√2sin(2x+π/4)
则：f(x)的最大值为√2,
最小正周期T=2π/2=π
2、
f(α/2+π/8)=√2sin(α+π/2)=√2cosα=√5/2
得：cosα=√10/4,则：sin²α=1-cos²α=3/8
因为α∈[0,π/2],所以,sinα>0,所以,sinα=√6/4
f(β/2+π)=√2sin(β+2π+π/4)=√2sin(β+π/4)=√2
得：sin(β+π/4)=1,则：β+π/4=π/2+2kπ,则：β=π/4+2kπ,k∈Z
又因为β∈[0,π/2],所以,得：β=π/4
所以,sin(α+β)=sin(α+π/4)
=(√2/2)sinα+(√2/2)cosα
=(√3+√5)/4