如图抛物线y=a（x+1）（x-4）的图像与直线y=1/3x-2相交于a、b两点,且该直线与x轴交与点p,交y轴与点a坐标轴上是否存在点m,使得三角形mab是直角三角形坐标轴

Question

如图抛物线y=a（x+1）（x-4）的图像与直线y=1/3x-2相交于a、b两点,且该直线与x轴交与点p,交y轴与点a
坐标轴上是否存在点m,使得三角形mab是直角三角形
坐标轴

Answer 1

如图：∵直线y=（1/3）x-2与x轴交与点p,交y轴与点a
易知a坐标为（0,-2）,p坐标为（6,0）
而抛物线与直线y=1/3x-2相交于a、b两点
所以a（0,-2）在抛物线上,代入抛物线解析式可得：-2=a（0+1）（0-4）
故a=1/2                    注：（题干出现了两个a,要分清哪个是代数,哪个是点）
即抛物线解析式为：y=(1/2)（x+1）（x-4）
由此可通过直线及抛物线解析方程得出b点坐标为：b（11/3,-7/9）
假设存在点m（x,y）,使⊿mab为Rt⊿.
则由勾股定理可知(x-0)²+[y-（-2）]²+(11/3-0)²+[-7/9-(-2)]²=(x-11/3)²+[y-(-7/9)]²
简化可得y=-3x-2
因为m在抛物线上,故m（x,y）还满足y=(1/2)（x+1）（x-4）
由此可得：x=0或-3,
∵当x=0时,m（0,-2）与a点重合

∴存在点m当其位于坐标（-3,7）时,⊿mab为Rt⊿.