正方形ABCD中,Q是CD的中点,设∠DAQ=α,在CD上取一点P,使∠BAP=2α用等式表示线段AP、AB、CP之间的数量关系.

Answer 1

tanα = DQ/AD = 1/2.
所以,tan(2α) = 2(1/2) / (1 - 1/4) = 4/3.
过P作平行于BC的线交AB于M,则tan(2α) = PM/AM.
再注意到PM = BC = AB,AM = AB - MB = AB - CP,于是AB / (AB-CP) = 4/3.
所以MB = CP = AB/4.
再根据AM = AB - MB = 3AB/4和PM = AB这两个条件可算出AP = 5AB/4.
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[Solution 2]
延长AB至M,使得BM = CP.由于BM//CP,易知此时M是BC的中点,同时M也是MP的中点.
连结AM.
容易证明三角形ABM和三角形DAQ的全等,所以∠BAM = α.
又,根据P点的取法,∠BAP = 2α,这说明AM平分∠BAP.
注意到AM既是MP的中线,又是角平分线,所以可断定三角形MAP是等腰三角形,即AM = AP.
也即,AB + MP = AP,即AB + CP = AP.
这种解法得到的结论比第一种解法得到的结论弱,但是也满足题目“数量关系”的要求.