8立方用多大的储罐要求用圆形的储罐

Question

8立方用多大的储罐
要求用圆形的储罐

Answer 1

为了使圆柱形储罐最省料：直径=高度=2.168m, 
设圆柱体的储罐体积为V,半径为r,高度为h,材料表面积为A.
A=2πr^2+2πrh   （1）
V=πhr^2           （2）
r>0,h>0
接下来就是求A的极值
由（2）式得出h=V/πr^2     （3）
代入（1）式得：
A=2πr^2+2V/r；
A对r求导数
A'=4πr-2V/r^2
令A'=0
得出r=（V/2π）^1/3 （4）
（4）代入（3）得到h=2(V/π）^1/3 =2r
由于在定义域内,A只有一个驻点,因此,h=2r时,A为最小值.
 半径r=（V/2π）^1/3 =（8/2π）^1/3 =1.084(m)
所以直径等于高度时,圆柱形储罐最省料!