正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-A1C-A的大小为详细点。。

Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-A1C-A的大小为
详细点。。

Answer 1

连结A1B、A1D,在平面A1BC上作BE⊥A1C,垂足E,连结DE,BD,AC,AC和BD交于O,连EO,
∵BC⊥平面ABB1A1,
A1B∈平面ABB1A1,
∴BC⊥A1B,
△A1BC是RT△,
设棱长为1,A1B=√2,A1C=√3,
BE*A1C/2=A1B*BC/2=△A1BC,
BE=√6/3,
同理△A1DC也是RT△,
显然,RT△A1BC≌RT△A1DC,
则DE⊥A1C,
A1C⊥平面BDE,
EO∈平面BDE
A1C⊥EO,
则〈BEO是二面角B-A1C-A的平面角,
DE=BE=√6/3,
BD=√2,
BO=√2/2,
在△BEO中,
sin〈OEB=60°,
∴二面角B-A1C-A的大小为60度.