分步计数原理中公式：C上标n下标m=m*(m-1)*.*(m-n+1)/n!是怎么推出来?我不在乎分数.

Question

分步计数原理中公式：C上标n下标m=m*(m-1)*.*(m-n+1)/n!是怎么推出来?
我不在乎分数.

Answer 1

你说的是组合公式了,
组合公式可以由排列公式得到,排列公式可以由乘法原理得到.
根据乘法原理
从m个互不相同的球中,每次拿出1个不放回,共取n个,考虑顺序的话,可以有多少中不同的取法呢,
取第一个m种取法,
取第二个(m-1)种取法,
...
取第n个(m-n+1)种取法.
总共A[m,n]=m*(m-1)*.*(m-n+1)种不同取法.
取完之后,有人通过了其它的办法,最终也取出了这n个球,
总共有多少种不同的取法呢?
取第一个n种取法,
取第二个(n-1)种取法,
...
取第n个1种取法.
总共n!种不同取法可以得到相同的结果.
所以如果不考虑过程的话,
总共A[m,n]=m*(m-1)*.*(m-n+1)种不同方式,
每n!中不同过程可以得到1种结果,
总共可以得到C[m,n]=m*(m-1)*.*(m-n+1)/n!种不同结果.