对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x）,若存在函数h（x）=kx+b（k,b为常数）,对任给的正数m,存在相应的x0 D,使得当x D且x>x0时,总有 则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“分渐近线”.

Question

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x）,若存在函数h（x）=kx+b（k,b为常数）,对任给的正数m,存在相应的x0 D,使得当x D且x>x0时,总有 则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“分渐近线”.给出定义域均为D= 的四组函数如下：
①f（x）=x²,g(x)=根号x; ②f(x)=10^(-x)+2,g(x)=(2x-3)/x;
③f(x)=(x²+1)/x,g(x)=(xlnx+1)/lnx; ④f(x)=2x²/(2x+1),g(x)=2(x-1-e^(-x)).
其中,曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是
A．①④ B.②③ C.②④ D.③④
(为什么存在分渐近线的充要条件是x→∞时,f(x)-g(x)→0?)

Answer 1

f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时,f（x）-g（x）→0．
对于①f（x）=x2,g（x）= x ,当x＞1时便不符合,所以①不存在；
对于②f（x）=10-x+2,g（x）=2x-3 x 肯定存在分渐近线,因为当时,f（x）-g（x）→0；
对于③f（x）=x2+1 x ,g（x）=xlnx+1 lnx ,f(x)-g(x)=1 x -1 lnx ,
设λ（x）=x-lnx,λn(x)=1 x2 ＞0,且lnx＜x,
所以当x→∞时x-lnx越来愈大,从而f（x）-g（x）会越来越小,不会趋近于0,
所以不存在分渐近线；
对于④f（x）=2x2 x+1 ,g（x）=2（x-1-e-x）,当x→0时,f(x)-g(x)=-2 1+1 x +2+2 ex →0,
因此存在分渐近线．故,存在分渐近线的是②④选C
故选C