当x趋向于无穷大时,(1+1/x)^x的极限怎么不是1,而是e呢?

Question

当x趋向于无穷大时,(1+1/x)^x的极限怎么不是1,而是e呢?

Answer 1

令t=1/x,则S=(1+1/x)^x=(1+t)^(1/t),x趋向∞则t趋向0
lnS=ln(1+t)/t,t趋向0时分子分母均趋向0,故可使用罗比达法则,对分子分母求导
则lnS趋向1/(1+t)=1,显然S趋向e.