回声数学难题,从声源点、回声点方向与回声时差,求声源、回声点定位.一位盲人,听力很灵敏,他听到正东方传来一个声音,然后正好过了1秒,听到东方偏南30度又传来一个声音,经判断这是上一

Question

回声数学难题,从声源点、回声点方向与回声时差,求声源、回声点定位.
一位盲人,听力很灵敏,他听到正东方传来一个声音,然后正好过了1秒,听到东
方偏南30度又传来一个声音,经判断这是上一个声音的回声.求声源点、回声点
与盲人的距离又或声源点与回声点间距离.
三种结果：1、能求出确定一解或多解；2、无解；3、有范围解.
会是哪种?
音速一秒以340米计。
套进数值计算，已知可以有无数组解，
但直觉至少在回声段会有最小值和最大值。

Answer 1

郭敦顒回答：
分两种基本情况：
（1）盲人在第一次听到声音后,这声音折射到东方偏南30度又返回,过了1秒听到此回声,表明东方偏南30度处有障碍物,相距340×1/2=170（米）,但不能断定声源,也就是无解.
（2）在由正东方声源处发声后,经若干秒盲人听到,另外声音向盲人东方偏南30度方向某处传送折射到盲人处,为盲人听到此声音,
设声源为点A,盲人处为点B,盲人东方偏南30度折射声音处为点C,如此形成一△ABC,并设AB=c,AC=b,BC=a,则有
a+b－c=340,
c=a+b－340
从实际情况来说,盲人东方偏南30度处应有障碍物比如是一座山,否则过了1秒听不到此声音,并且由盲人处到此障碍物的距离BC=a是已知的,比如是a=600（米,不能任意假设）,则
c=a+b－340=600+ b－340= b+260
c=b+260,
作CD⊥AB于D,令AD=x,则
BD=600cos30°=520（米）,
CD=600sin30°=300（米）
c=520+x,∴x+520=b+260,x+260=b （1）
∴x²+300²=b² （2）
∴（x+260）²=x²+300²
520x+260²=300 ²
520x=22400,x=43
c=520+x=520+43=563（米）.
b =c－260=563－260=303,
a+ b=600+303=903,
a+ b－c=903－563=340.
所以,在此情况下有唯一解.（注意,障碍物是固定的,解也随着是确定唯一的.）