一根绳子长52米把它分成两段,围成两个矩形两个矩形,两个矩形长和宽的比分别是2:1和3:2围成的最小面积是多少?

Question

一根绳子长52米把它分成两段,围成两个矩形两个矩形,两个矩形长和宽的比分别是2:1和3:2围成的最小面积是多少?

Answer 1

设其中一个矩形的周长是X,则另一个的周长是52-X
周长是X的矩形,长宽比2：1,则长为2X/6、宽为X/6
周长是52-X的矩形,长宽比3：2,则长为3*(52-X)/10、宽为2*(52-X)/10
两矩形面积之和S
=（2X/6）*（X/6）+[3*(52-X)/10]*[2*(52-X)/10]
=2X^2/36 +6*(52-X)^2/100
=X^2/18 +3*(52-X)^2/50
=25*X^2/450 + 27*(X-52)^2/450
=[25*X^2+27*(X-52)^2]/450
求此式的最小值,等价于求
25*X^2+27*(X-52)^2的最小值
化简,等价于求
52*X^2-2808X+73008的最小值
提取因数,等价于求
X^2-54X+1404的最小值
凑平方,等价于求
(X-27)^2+675的最小值
可知,当X=27时,取得最小值
此时,一个矩形长、宽为9、4.5,另一矩形长、宽为7.5、5
围成的面积最小,为78