求一道数学几何题初中的设D E F 分别为直角三角形ABC（C为直角顶点）的三边BC CA AB上的点,AD BE CF交与点0.求证角CDA=角FDB,当且仅当AE=2EC,图好画,我就不插图了

Question

求一道数学几何题初中的
设D E F 分别为直角三角形ABC（C为直角顶点）的三边BC CA AB上的点,AD BE CF交与点0.求证角CDA=角FDB,当且仅当AE=2EC,图好画,我就不插图了

Answer 1

延长FD、AC相较于G,延长DF至H,连BH,使BH//AC.
易得,BH/CG=BD/DC,
变形为BD/DC=BH/CG,记作1式
同时,BH/GA=BF/FA,
变形为AF/BF=AG/BH,记作2式
由已知CE/EA=1/2
利用赛瓦定理：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1,将式1、2、3代入,可得
AG=2CG,即AC=CG,
又DC垂直于AG,
于是得到角ADC=角GDC=角BDF