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联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.例:已知PA=PB,则点P为△ABC的准外心(如图1).(1)如图2,CD为正三角形ABC的
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联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.例:已知PA=PB,则点P为△ABC的准外心(如图1).
(1)如图2,CD为正三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=
AB,求∠APB的度数.
(2)如图3,若△ABC为直角三角形,∠C=90°,AB=13,BC=5,准外心P在AC边上,试探究PA的长.

(1)如图2,CD为正三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=
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(2)如图3,若△ABC为直角三角形,∠C=90°,AB=13,BC=5,准外心P在AC边上,试探究PA的长.

▼优质解答
答案和解析
(1)①若PB=PC,连结PB,则∠PCB=∠PBC.
∵CD为等边三角形的高.∴AD=BD,∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PD=
DB=
AB.
与已知PD=
AB矛盾,∴PB≠PC.
②若PA=PC,连结PA,则∠PCA=∠PAC.
∵CD为等边三角形的高.∴AD=BD,∠PCA=30°,
∴∠PAD=∠PAC=30°,∴PD=
DA=
AB.
与已知PD=
AB矛盾,∴PA≠PC.
③若PA=PB,由PD=
AB,得PD=BD,
∴∠BPD=45°,
故∠APB=90°;
(2)①若PB=PA,设PA=x,
∵∠C=90°,AB=13,BC=5,
∴AC=12,则CP=12-x,
∴x2=(12-x)2+52,
∴解得:x=
,即PA=
.
②若PA=PC,则PA=6.
③若PC=PB,由图知,在Rt△PBC中,不可能,
故PA=
或6.

∵CD为等边三角形的高.∴AD=BD,∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PD=
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与已知PD=
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②若PA=PC,连结PA,则∠PCA=∠PAC.
∵CD为等边三角形的高.∴AD=BD,∠PCA=30°,
∴∠PAD=∠PAC=30°,∴PD=
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与已知PD=
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③若PA=PB,由PD=
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∴∠BPD=45°,
故∠APB=90°;
(2)①若PB=PA,设PA=x,
∵∠C=90°,AB=13,BC=5,
∴AC=12,则CP=12-x,
∴x2=(12-x)2+52,
∴解得:x=
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②若PA=PC,则PA=6.
③若PC=PB,由图知,在Rt△PBC中,不可能,
故PA=
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