已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O和M分别为Rt△ABC的外心和内心，线段OM的长为．

Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O和M分别为Rt△ABC的外心和内心，线段OM的长为___．

Answer 1

如图，作△ABC的内切圆 M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=√(AC2+BC2)=10．
∵点O为△ABC的外心，
∴AO为外接圆半径，AO=(1)/(2)AB=5．
设 M的半径为r，则MD=ME=r，
又∵∠MDC=∠MEC=∠C=90°，
∴四边形IECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=6-r，BD=BN=8-r，
∵AB=10，
∴8-r+6-r=10，
解得r=2，
∴MN=r=2，AN=6-r=4．
在Rt△OIN中，∵∠MNO=90°，ON=AO-AN=5-4=1，
∴OM=√(MN2+ON2)=√(5)．
故答案是：√(5)．