半径为R的球内切于正三棱锥,求正三棱锥的体积?

Question

半径为R的球内切于正三棱锥,求正三棱锥的体积?

Answer 1

设正三棱锥S-ABC内切于球,球心为O
若正△ABC的一中线为AD,重心为G,
则高SG经过点O,
又设正三棱锥的棱长为12a,
则AB=BC=SA=12a
可求得：BD=6a,AD=6（根号3）a
AG=4（根号3）a,SG=4（根号6）a
∵球半径OG=R,∴OS=4（根号6）a-R
∵OA=OS,∴OA=4（根号6）a-R
在Rt△OAG中,∵OA²=OG²+AG²
∴[4（根号6）a-R]²=R²+[4（根号3）a]²
∴a=（根号6）R/6
∴正三棱锥S-ABC的体积V
=△ABC的面积乘以高SG除以3
=（BC×AD×SG）/6
=[12a×6（根号3）a×4（根号6）a]÷6
=144（根号2）a³
=8（根号3）R³