如图,抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点,对称轴与抛物线交于点P,与直线BC相交于M.连接CP,在第一象限的抛物线上是否存在一点R,使△RPC与△RMB面积相等,若存在,求出点R坐标；若不

Question

如图,抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点,对称轴与抛物线交于点P,与直线BC相交于M.
连接CP,在第一象限的抛物线上是否存在一点R,使△RPC与△RMB面积相等,若存在,求出点R坐标；若不存在,请说明理由.

Answer 1

设抛物线方程为 y=a(x+1)(x-3),再将C点坐标(0,3)代入确定 a=-1；所以 y=-x²+2x+3；
对称轴 x=1,P点坐标(1,4),M点坐标(0,2)；
假设存在点 R(x,y),作RT⊥x轴交 x 轴于T、PW⊥x轴交于W；
S△RMB=S◇RMWT+S△RBT-S△MWB=[(2+y)(x-1)/2]+[(3-x)y/2]-(2*2/2)=x+y-3；
S△PRC=S◇PCOW+S◇PWTR-S◇COTR
=[(3+4)*1/2]+[(4+y)*(x-1)/2]-[(3+y)*x/2]=(x-y+3)/2；
按题意,S△RMB=S△PRC,x+y-3=(x-y+3)/2；
化简 x+3y-9=0,即 -3x²+7x=0,解得 x=7/3（x=0 对应B点,不合题意,舍去）；
y=-(7/3)²+2*(7/3)+3=20/9；R点坐标(7/3,20/9)；