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函数数列{fn(x)}满足f1(1)/根号下(1+x^2) f(n+1)(x)=f1[fn(x)]求f2,f3并用数学归纳法证明fn解析式
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函数数列{fn(x)}满足f1(1)/根号下(1+x^2) f(n+1)(x)=f1[fn(x)]求f2,f3
并用数学归纳法证明fn解析式
并用数学归纳法证明fn解析式
▼优质解答
答案和解析
第一问,利用迭代.易知f1(x)=x/√(1+x^2),代入fn+1(x)=f1[fn(x)],令n=1,得
f2(x)=f1(x)/√[1+(f1(x))^2],代入其解析式有f2(x)=x/√(1+2x^2).
同理求f3(x)=x/√(1+3x^2).
第二问,猜想fn(x)=x/√(1+nx^2).(由f2(x),f3(x)解析式结构得到.
则,n=1时,其成立.
设n=k(k>=1)时,fk(x)=x/√(1+kx^2),则fk+1(x)=f1(fk(x)),代入前面的fk(x),看解出的fk+1(x)的解析式是否是fk+1(x)=x/√(1+(k+1)x^2),(解出的结果必定是这个)
则棕上,对于n属于(正整数),有fn(x)=x/√(1+nx^2)成立,命题得证.
f2(x)=f1(x)/√[1+(f1(x))^2],代入其解析式有f2(x)=x/√(1+2x^2).
同理求f3(x)=x/√(1+3x^2).
第二问,猜想fn(x)=x/√(1+nx^2).(由f2(x),f3(x)解析式结构得到.
则,n=1时,其成立.
设n=k(k>=1)时,fk(x)=x/√(1+kx^2),则fk+1(x)=f1(fk(x)),代入前面的fk(x),看解出的fk+1(x)的解析式是否是fk+1(x)=x/√(1+(k+1)x^2),(解出的结果必定是这个)
则棕上,对于n属于(正整数),有fn(x)=x/√(1+nx^2)成立,命题得证.
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