如图,P是等边三角形ABC内一点,PC=3,PA=4,PB=5,求AB的边长

Question

如图,P是等边三角形ABC内一点,PC=3,PA=4,PB=5,求AB的边长

Answer 1

按照楼主图形的方向,将PA沿A点逆时针旋转60°,使P点落到D点,连接PD,CD
由旋转含义知：∠PAD=60°,PA=AD
∴△PAD是等边三角形,有PD=PA=4,且∠APD=60°
等边△ABC中,∠BAC=60°,AC=AB
∴∠BAC=∠PAD
而∠BAP=∠BAC-∠PAC
∠CAD=∠PAD-∠PAC
∴∠BAP=∠CAD
于是,在△BAP和△CAD中：
AB=AC,∠BAP=∠CAD,PA=AD
∴△BAP≌△CAD
∴CD=PB=5
在△PCD中,三边PD=4,CD=5,PC=3
很容易得出：CD^=PD^+PC^
由勾股定理逆定理可得出:
∠CPD=90°
∴∠APC=∠CPD+∠APD=90°+60°=150°
于是,在△APC中,已知两边PA=4,PC=3,以及两边夹角∠APC=150°,可根据余弦定理求出AC的长：
AC^=PA^+PC^-2*PA*PC*cos∠APC
代入各个数值,可求出：
AC=√(25+12√3)
即AB=√(25+12√3)
在这里,我不知道楼主是否已学余弦定理,如果没学的话,可通过作辅助线,在已知PA,PC,∠APC的情况下求出AC的长：
过A作AE⊥PC交PC延长线于点E
于是∠AEP=90°
而∠APE=180°-∠APC=180°-150°=30°
在Rt△APE中,∠AEP=90°
有sin∠APE=AE/AP,cos∠APE=PE/AP
代入∠APE=30°,AP=4,可求出：
AE=2,PE=2√3
∴CE=PE+PC=2√3+3
在Rt△AEC中,运用勾股定理可得：
AC^=AE^+CE^
代入AE=2,CE=2√3+3
可求出：
AC=√(25+12√3)