1.矩阵的特征值分解和奇异值分解有什么不同?2.自相关矩阵都能对角化吗?对于第二个问题，如果不能都对角化，请给出理由

Question

1.矩阵的特征值分解和奇异值分解有什么不同?
2.自相关矩阵都能对角化吗?
对于第二个问题，如果不能都对角化，请给出理由

Answer 1

1.对于特征值分解 [v,d] = eig( A ) ,我们有这样的关系 A = v*d*inv(v)
特征值分解中有一种特殊的分解,叫正交分解.正交分解其实就是对称阵的特征值分解,[v,d] = eig(B ) ,B = v*d*inv(v); 由于正交分解得到的正交阵满足如下的关系:v*v' = I,所以有 v'=inv(v); 那么也就有 B = v*d*v';
对于奇异值分解,其分解的基本形式为 [u,s,v] = svd(C),C = u*s*v'.若C阵为对称的方阵,则有 u = v; 所以有 C = v*s*v';
所有的矩阵都可以进行奇异值分解,不管其是否是方阵以及对称矩阵.当所给的矩阵是对称的方阵,A(T)=A,二者的结果是相同的.也就是说对称矩阵的特征值分解是所有奇异值分解的一个特例.
但是二者还是存在一些小的差异,奇异值分解需要对奇异值从大到小的排序,而且全部是大于等于零.
在应用层面上,信号处理中常常遇到一些降维,主分量分析等等的处理需要用到奇异值分解.一般来讲,奇异值分解应用的范围比较广泛.
比如说,对于一个零均值的信号的自相关矩阵CX = X'X,对CX进行奇异值分解和特征值分解,基本上是相似的,但还要注意的是奇异值是由大到小的排序.
所以由上述,二者单纯在数学意义上,在特定的情况下,还是有一定的联系的.若有不对的地方,还请指教!
2.能.