设a>0 b>0 a+b=1 证（a+(1/a)）^2+(b+(1/b))^2 ≥25/2

Question

设a>0 b>0 a+b=1 证（a+(1/a)）^2+(b+(1/b))^2 ≥25/2

Answer 1

证明：由柯西不等式：(1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2]>=(a+1/a+b+1/b)^2=(1+1/a+1/b)^2
再用柯西不等式：(a+b)(1/a+1/b)>=(1+1)^2=4
所以1/a+1/b>=4
于是2[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2]>=(1+4)^2=25
上式即(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2