设随机变量X的概率密度为fX（x）=e−x，x≥00，x＜0，求随机变量Y=eX的概率密度fY（y）．

Question

设随机变量X的概率密度为f_X（x）=

e−x， x≥0

0， x＜0

，求随机变量Y=e^X的概率密度f_Y（y）．

Answer 1

设Y的分布函数为F_Y（y），
则根据分布函数的定义，有：
FY(y)＝P(Y≤y)＝P(ex＜y)，
∴①当y≤0时，F_Y（y）=P（∅）=0，
②当0＜y＜1时，即lny＜0，此时F_Y（y）=P(x＜lny)＝

∫

lny −∞

0dx＝0，
③当1≤y时，即lny≥0，此时F_Y（y）=P(x＜lny)＝

∫

0 −∞

0dx+

∫

lny 0

e−xdx=1−(1)/(y)，
于是：FY(y)＝

0	，y＜1
1−(1)/(y)	，y≥1

从而：随机变量Y=e^X的概率密度f_Y（y）为：
fY(y)＝(dFY(y))/(dy)＝

0	，y＜1
(1)/(y2)	，y≥1

．